皮亚诺曲线是一个曲线序列的极限，是一个能够填满正方形的曲线，皮亚诺曲线是一个不可导的曲线，在数学上有一定的应用，因为在一般的情况下，一维的线是无法填满二维的方格的，但是皮亚诺曲线却解决了这个问题，这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。这个定论的证实使得我们必须重新认识维度在数学上的应用，这也是数学知识的神奇之处，除了皮亚诺曲线，在数学上还有很多神奇的定论，这些定论的存在说明了数学知识的神奇之处，本文将为大家详细的进行介绍。
数学定理的神奇之处 学习过数学的人应该都知道，数学对于一部分的人来说，可是说是非常的神奇的，因为很多人无法理解数学的神奇之处，但是数学的魅力所在是无法磨灭的，并且对于一些数学曲线来说，根据特定的数学规律来进行演算，能够很好的表现出神奇的曲线特征，比如说双曲线、皮亚诺曲线、阿基米德螺旋线等，都是数学定理的演算情况下出现的一种特征性曲线，这也是数学定理的神奇之处。皮亚诺曲线的观点所在1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G）发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t）和y=g(t），使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。
“1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅专门讨论实数问题，特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标，在不预先假定无理数存在的条件下，建立一个令人满意的无理数理论。显然，全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。从集合论的观点来看，由于数的序列对应的是数的集合，而不是数元素本身，即使形如只有一个元素的序列对应的也应该是一个数的集合。上面对有理数的定义显然构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。 有一点需要明确一下，就是无穷序列的构造过程以及对无穷序列取极限的过程的关系。我们已经知道[0,1]区间中有理数有可数无穷多个，可以用一个递归的无穷过程来产生这些有理数；而[0,1]区间中的无理数都是有理数集合的极限点。但有理数集和无理数集显然是不一样的。这就是说，构造有理数集的无穷过程并不包括取极限的过程，不能认为取极限的过程一定包含在无穷过程中。否则，按第一节的论述，对无理数的定义将包含罗素悖论。事实上，许多宣称找到了实数可数证据的例子都是犯了认为无穷过程一定包含取极限过程的错误。
另外，可以用反证法证明，希尔伯特曲线并没有建立一种从曲线到平面的一一对应关系。假设曲线的坐标区间为[0,1]（即假设曲线的长度为1），并对于正方形中位线y轴上的某一点p，有曲线上的数x属于[0,1]映射到p点。由于希尔伯特曲线是左右对称的，则立即可以得到数（1-x）也映射到p点。又由于这种映射是一一映射，所以有x=1-x=1/2，即与1/2对应的是y轴上的一条线段，这与前面的一一对应假设矛盾。 这种观点指出，在康托用有理数的基本序列去定义实数中，实数域中的一个有理数a按定义等于序列，这实际上构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子，指出它们实际上也包含了上述悖论。
盘点数学上的其他曲线及定理 上面也已经说到了数学上存在的一些数学定理，这些定理的存在也证明了数学的神奇所在，并且数学定理在很多方面都有非常广泛的应用，涵盖了人类生活的方方面面，比如说在宇宙探索中，就需要用到大量的数学定理去进行演算，并且通过这些演算来进行结果的论证，再比如说在某些生活中存在的物件，都是通过数学的定理来进行设计的，因为只有根据科学的设计才能制造出非常合适的产品。
